Bolzano
Padre refugia-se na Matemática
Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.
Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.
Em 1817 publicou o livro "Rein Analytisches Beweis (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função.
Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetizaçao", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes.
Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre O e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.
Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente de infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.
Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos. Conhecemos hoje como teorema de Bolzaro-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto limitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação.
O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.
Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".
Cauchy
Engenheiro de Napoleão era monarquista
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris logo após a queda da Bastilha. Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por seu trabalho.
Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuitas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o título de barão como recompensa por sua fidelidade.
Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.
Uma de suas características marcantes era que, obtendo um novo resultado , logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notícias) da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas.
Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchv foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco.
Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler.
Em Teoria dos Números, provou o teorema de Ferrnat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes.
Juntamente com Navier, Cauchv foi fundador da teoria matemática da Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.
Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler.
Descartes
Geometria e Álgebra fazem as pazes
René Descartes nasceu na França, de família nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Fléche, graduando-se em Direito, em Poitier.
Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano l da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da Filosofia Moderna".
Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método" onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de Newton.
Suas idéias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época mas sua matemática guardava características da antigüidade tendo criado a Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado.
Durante o período em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em
1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler:
v + f = a + 2 onde v,f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas
de um poliedro simples.
Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde com a Analítica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas
Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do mesmo princípio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou "A Geometna", que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das ovais de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raízes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas.
Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.
Euclides
2300 anos de vida
Euclides de Alexandria; não se sabe ao certo onde e quando nasceu, mas foi um dos sábios chamados para ensinar na escola criada por Ptolomeu, na Alexandria em 306 A.C., chamada "Museu". Diz-se que Euclides tinha grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas o caracterizam como um bondoso velho.
Seus livros são os mais antigos tratados gregos existentes, embora se tenha
perdido mais da metade deles. Um dos mais lamentáveis desaparecimentos foi o dos
"Porismas de Euclides;' que poderiam conter aproximações da Geometria Analítica
e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em
que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa
é proposta para construir).
Cinco das obras de Euclides sobreviveram. "Óptica" onde, indica seu estudo de perspectiva e desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até o objeto que vemos.
Em "Os Fenômenos" discorre sobre Geometria esférica para utilização dos astrônomos. "A Divisão" contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. "Os Dados" forma um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.
E finalmente, "Os Elementos", obra que superou a de todos seus contemporâneos, contendo treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra. Os seis primeiros capítulos são sobre Geometria plana elementar; Os três seguintes sobre Teoria dos Números; o livro X, sobre incomensuráveis e os três últimos, sobre Geometria no espaço. Entre eles os mais admirados são o quinto e o décimo que tratam da teoria das proporções. O primeiro capítulo inicia com vinte e três definições, entre elas, "um ponto é o que não tem parte", "uma reta é um comprimento sem largura" e "uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura", que foram melhoradas mais tarde por Platão.
Em "Os Elementos" aparece também o célebre postulado das paralelas ("por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela") e em uma das proposições mostra em termos geométricos o que hoje são as identidades (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e a2 - b2 = (a + b) (a - b). No capítulo VII enuncia regras fundamentais para a Teoria dos Números como o conhecido "Algoritmo de Euclides", para achar o máximo divisor comum entre dois números
"Os Elementos" data 300 A.C. e foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de "o elementador".
Euller
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça,onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física.,Línguas orientais e Matemática.
Com o auxílio de Bernouli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção se Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários premios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notaçoes que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra pi para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para raiz de –1. Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou sigma para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a '7ntrodução á Aná~ise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas- inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultad05 que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria. Euler dedicou um Apêndice da "Introduçao" onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
Fourrier
Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigido pelos beneditinos.
Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.
Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.
Tendo acompanhado Napoleào no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.
Voltando a França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.
Em 1830 morreu Fourier, vítima de um aneurisma cerebral.
Hilbert
Os conjuntos invadem a geometria
David Hilbert nasceu em Konigsberg, na Prússia Oriental.
Dinâmico e com idéias notavelmente originais, participou de quase todos os Congressos internacionais de Matemática que, a partir de 1893, eram realizados com freqüência.
Em 1899 publicou os "Fundamentos da Geometria",que exerceu grande influência sobre a Matemática do século XX.
Hilbert percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objetos não definidos-ponto, reta e plano- e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados conhecidos como Axiomas de Hilbert. A Teoria dos Conjuntos passa a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstração.
Em 1900, Hilbert já era afamado professor em Gottingem, Alemanha, e depois de muito analisar as pesquisas dos fins do século XIX, durante sua participação no Congresso de Paris, apresentou e propôs vinte e três problemas os quais, segundo acreditava, ocupariam a atenção dos matemáticos do século XX, numa tentativa de prenunciar os rumos que tomaria o progresso neste século. Dizia ele: "se quisermos ter uma idéia do desenvolvimento provável do conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro. Destes problemas, o primeiro trata de Teoria dos conjuntos o segundo é sobre os axiomas da Matemática, e os outros são sobre Topologia, Equações Diferenciais, Cálculo das Variações e demais campos. Pode-se afirmar que muitos deles ainda não estão resolvidos e que a Matemática neste século se desenvolveu em muitas direções não previstas como disse o próprio Hilbert: "enquanto um ramo da Ciência oferece uma abundância de problemas, ele está vivo".
Depois do Congresso de 1900, os matemáticos se agruparam em duas escolas, dependendo da sua linha de pensamento: os "formalistas" liderados por Hilbert, e os "logicistas" tendo à frente Russel.
Hilbert interessou-se por todos os aspectos da Matemática Pura, contribuindo para a Teoria dos Números, Lógica Matemática, Equações Diferenciais e também para a Física Matemática, sendo considerado uma figura importante de transição entre os séculos XIX e XX.
Lobachevski
Nicolai Lobachevsky nasceu na Rússia. Aos sete anos perdeu o pai. Apesar das dificuldades financeiras freqüentou a Universidade de Kazan, onde entrou em contato com professores vindos da Alemanha, entre eles Bartels, que havia ensinado Gauss. Deve-se a isto sua preferencia pela corrente alemã e geométrica, ao contrário de seu rival contemporâneo e também russo Ostrogradsky, que seguia as idéias francesas e a Análise de Cauchy.
Aos 21 anos Lobachevskv tornou-se professor na Universidade de Kazan onde mais tarde foi nomeado reitor, cargo que ocupou até o fim da vida.
Em 1823, em uma exposição, disse do postulado das paralelas de Euclides simplesmente que nunca foi descoberta uma prova rigorosa de sua validade" e em 1826 apresentou alguns teoremas sobre a nova teoria que defendia.
Em 1829 publicou um artigo "Sobre os Princípios da Geometria" que marca o nascimento da Geometria não euclidiana, ficando completamente convencido de que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos outros quatro. Construiu esta nova geometria totalmente fundamentada na hipótese, contrária à de Euclides, de que "Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta no plano que não encontra AB", parecia ela tão contraditória ao senso comum que o próprio Lobachevsky a chamou "Geometria imaginária". Por este resultado chamaram-no "Copérnico da Geometria", revolucionando o assunto e mostrando que a Geometria euclidiana não era a verdade absoluta suposta até então, e tornando necessário fazer-se uma revisão completa nos conceitos fundamentais da Matemática.
Em 1838 publicou "Novos Fundamentos da Geometria", em russo; em 1840 publicou "Invertigações geométricas sobre a teoria das para/elas", em alemão i finalmente em 1855 lançou seu livro "Pangeometria", em francês e russo. Lobachevsky nunca gozou de posição destacada na sociedade e era defensor entusiasta das causas liberais populares. Em 1842 foi eleito para a Sociedade Cientifica de Gottingen, porém suas descobertas só foram reconhecidas muito lentamente e este era seu maior desgosto. Os grandes matemáticos da época, como Gauss, tomando conhecimento de sua nova teoria elogiavam mas não tinham coragem de publicar comentários a respeito, com medo de serem ridicularizados.
Pascal
Blaise Pascal, francês, tinha como o pai, Etienne Pascal, inclinação para Matemática.
Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela.
Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinqüenta delas.
Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos.
Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo.
Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades.
· Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, torna-se responsável, com Ferrnat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática".
A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciencia, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais" e "Pensamentos".
Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso como sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última notícia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.
Poncelet
Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788.
Tendo se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.
Em 18l2, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante Os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dados os primeiros passos no século XVII.
Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática", Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.
O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois como "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.
Poncelet foi ainda o criador da teoria polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.
Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.
Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera
Rieman
G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil.
Teve boa instrução em Berlim e depois em Gottingen onde obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria das funções de variáveis complexas, onde aparecem as equações denominadas de Cauchy-Riemann, embora lá fossem conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel fundamental em Análise.
Nomeado professor na Universidade de Gottingen em 1B54, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido comum mas como uma coleção de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais a de achar distancia entre dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano é uma superfície de uma esfera e reta é o círculo máximo sobre a esfera. De sua sugestão de estudar espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim para o desenvolvimento da Física.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass.
Um de seus brilhantes resul;tados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em conseqüência de uma tuberculose.
Talles
Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista de visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida.
As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C. conseguiu predizer o elipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.
Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um angulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um círculo é bissectado por um diâmetro", "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro. então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola de Jônia" e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descoberta matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos".
Poincaré
* Trechos da nota introdutória do livro "Deus Joga Dados ? - a Matemática do Caos" de Ian StewartHoje em dia, no final do século XX, seria quase um insulto perguntar a alguém se sabe quem foi Albert Einstein. Na verdade, a importância do seu trabalho não é ignorada por ninguém, embora, compreensivelmente, a natureza e os pormenores deste o sejam por muitos. A sua imagem, que se tornou emblemática na sociedade moderna, é reconhecida por todos, tendo-se tornado (ao contrário, estou convencido, do que o próprio Einstein teria gostado) símbolo de valores como pensamento, profundidade, transformação do mundo pela reflexão e outros proventura menos nobres mas bem explorados pela indústria do marketing. Einstein é o paradigma da genialidade: o homem é a imagem do gênio.
Devo dizer que concordo sem restrições, por razões que não vêm aqui a propósito, com a genialidade ímpar de Einstein. A questão é que, tal como a física, também a matemática teve o seu gênio ímpar, o seu Einstein. E no entanto, alguém se sentiria insultado ao ser-lhe perguntado se conhecia Henri Poicaré?
Dificilmente se encontrará, na história da ciência dos últimos dois séculos, figura mais capaz de ombrear com Einstein do que Henri Poincaré, o último universalista. Poincaré não só deixou uma vastíssima e importantíssima obra em todos os campos da matemática, e mesmo da física, do seu tempo, como a mecânica clássica, mecânica celeste, física matemática, teoria dos números, teoria das funções, equações diferenciais ou análise real e complexa ( a propósito deste paralelo, é curioso referir que Poincaré atingiu, independentemente de Einstein e ao mesmo tempo que este, em 1905, uma formulação da teoria da relatividade restrita), como também fundou mesmo, com seus trabalhos, um conjunto de novos ramos da matemática, como a topologia ou a teoria qualitativa das equações diferenciais,e as suas idéias seminais continuaram a influenciar decisivamente toda a investigação matemática do século XX, estando presente, como um espírito que assombra uma casa, em ramos da matemática cuja fundação é posterior à sua morte, como a topologia algébrica ou a geometria diferencial. O seu papel na história, como sendo o primeiro,e durante muito tempo o único, a dar-se conta da catástrofe conceitual que representava para os dogmas e convicções da física-matemática do seu tempo o fenômeno da Bifurcação Homoclínica, que só veio a ser redescoberto e valorizado oitenta anos depois, é paradigmático: o seu espírito profundo e penetrante continua a assombrar a grande casa da ciência.
Honra lhe seja feita: Poincaré merece, de fato, um lugar no pedestal dos grandes da ciência, ao lado de um Galileu, de um Newton, de um Darwin ou de um Einstein.
Qual a razão profunda do desconhecimento, por parte do grande público, da importância de Poincaré? O problema é complicado. Creio que não reside em Poincaré, mas sim na natureza da ciência que o apaixonou e a que se dedicou, radicalmente diferente da das ciências naturais. Cito, de memória, Leopold Kronecker: "A essência da matemática é a liberdade". A meu ver, esta frase resume uma característica fundamental da matemática, em contraposição às ciências naturais: estas, por mais abstratas e elaboradas que se sejam as teorias, estão confinadas a debater problemas relativos ao mundo natural, físico, químico ou biológico, e estão portanto sempre sujeitas ao veredicto final que a Natureza, através da experiência, decida conferir-lhes sobre a sua validade, enquanto que a matemática lida com um mundo puro de idéias. O próprio objeto da matemática são as idéias e não o mundo real. Enquanto se pode determinar se, por exemplo, uma teoria física está errada extraindo-lhe previsões concretas sobre o mundo real, que depois se verifica não estarem corretas, em matemática não existe tal critério de verdade. O único critério de verdade matemático é o da correção lógica dos resultados. Deste ponto de vista, a liberdade do matemático é muito maior do que a do cientista natural: um conjunto de idéias muito belas só pode ser refutado se estiver logicamente incorreto, e nunca por confronto com a Natureza. Se não estiver incorreto, ganhou direitos de cidadania na sua ciência. Por exemplo, o estatuto matemático das geometria euclidianas e não euclidianas é idêntico, independentemente de qual seja a geometria real do nosso universo; nenhuma é matematicamente "mais verdadeira" do que as outras. Já do ponto de vista físico isto não se passa...
Nesta perpectiva, a atividade matemática está muito mais próxima da artística do que da propriamente científica: a liberdade do matemático está mais próxima da do artista do que da do cientista natural.
Será esta a razão pela qual é mais difícil o grande público valorizar a atividade de uma matemático como Poincaré do que a de um físico como Einstein? O fato de, uma vez que a matemática lida com um mundo de idéias, e não com o mundo real, não existirem fatos concretos e palpáveis - desvios gravitacionais, ou sínteses de Miller-Urey, ou fósseis, ou bombas nucleares - para apresentar às pessoas, mas apenas idéias - distribuição de primos, ou teorema de Cauchy, ou conjectura de Poincaré, ou teorema de Atiyah-Singer-, poderá fazer com que o público tenha dificuldade em aperceber-se da real importância da matemática no conjunto das ciências? É possivel, embora tal seja demasiado complexo para poder ser aqui tratado.
Bhaskara
A Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do mundo, Bhaskara. ... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:
"...foi então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os quais se relacionavam às partilhas dos inventários. Divertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos eram complicados, mas com minha técnica de solução...
O que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.
... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores
do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha para o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas partes...
.... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.
John Napier
Napier viveu 67 anos, entre 1550 a 1617, na época do Renascimento. Shakespeare, na Inglaterra, com a fama de maior dramaturgo de todos os tempos, publicava Sonhos de uma Noite de Verão, Hamlet, O Mercador de Veneza, Otelo e Romeu e Julieta.
Miguel de Cervantes, na Espanha, escrevia um dos livros mais famosos da literatura mundial: Dom Quixote, no qual criticava a cultura medieval, na figura grotesca de seu personagem que investe contra moinhos de vento por imaginar estar lutando com gigantes.
Luis de Camões, em Portugal, lança seu Lusíadas, que traduz a epopéia do povo português conquistador dos mares. O livro, com seus poemas épicos, narra as inúmeras viagens do navegante e descobridor Vasco da Gama.
Martinho Lutero, fanático religioso alemão, defende suas idéias sobre a tendência dos católicos: serem donos do mundo material e espiritual. Seus pensamentos produzirão uma crise religiosa de proporções comprometedoras para o futuro da Igreja.
No século XVI acontecem profundas modificações políticas e econômicas na Europa, que, impulsionada pelo capitalismo e futuramente pela Revolução Industrial, induzira o nascimento de uma burguesia poderosa. Surgem então condições financeiras para o desenvolvimento da cultura européia.
Matemático escocês, John Napier, barão de Merchiston, nasceu no castelo de Merchiston, nas proximidades. de Edimburgo, no ano de 1550. Ao contrário de muitos homens importantes para a ciência, Napier viveu cercado de luxo: farta comida, boas roupas, excelentes professores, carruagens, enfim, tudo o que o dinheiro pode comprar. Seu tio materno, Adam Bothwere - primeiro bispo de Orkney, amigo do rei Jaime VI-, e seu pai possuíam grande influência política e financeira na Escócia daqueles dias. A família Napier detinha a cobiçada posição de estar entre as vinte maiores fortunas da Europa.
Desde pequeno, Napier mostrou-se diferente dos demais jovens da sua classe social. Em vez de dedicar-se à caça e à guerra, preferia as atividades intelectuais. Revelou-se brilhante estudioso, péssimo caçador e desajeitado guerreiro. Dotado de temperamento irascível, em uma tarde de 1569 procurou o seu vizinho, lorde Kalliran, para reclamar que seus pombos estavam invadindo o castelo de Merchiston e quebrando o silencio sepulcral de que precisava para estudar. Como Kalliran não tomasse nenhuma providência, não teve dúvidas: envenenou todos os pombos espalhando pelo castelo grãos de milho recheados com cianureto.
"...todos que me conhecem sabem
que detesto barulho. O silêncio é
o melhor aliado que um homem
pode ter para conhecer a natureza e
a si próprio. Detesto pombos..."
Ate os doze anos Napier teve aulas particulares em seu castelo, com importante professores escoceses, especialmente contratados por seu pai. Aos treze anos, ingressou na Universidade de St. Andrews, destacando-se como um dos melhores alunos. Por sua grande capacidade intelectual, o bispo de Orkney sugeriu à família de Napier que o mandasse à França, onde poderia ter acesso a mestres que então revolucionavam a Matemática e a Filosofia. Assim Napier foi para a França, onde só ficaria durante um ano, pois sentia falta da família e de Merchiston.
Ao regressar ao seu castelo, Napier trouxe consigo cinco professores de Matemática para ensiná-lo. Além da Matemática, passou a interessar-se por Teologia; prova disto é o livro que publicou em 1593 Descoberta evidente de toda Revelaçã0 de São João, onde critica radicalmente a Igreja, fazendo suas próprias interpretações das escrituras bíblicas:
"Deve-se interpretar a Bíblia de
um modo mais cientifico e menos
fanático".
Os assuntos tratados no livro são fúteis, sem nenhum conteúdo filosófico, mas nota-se que Napier assimilara a maneira grega de raciocinar. É interessante verificar que este seu livro, no qual afirma ser o papa o anticristo, teve vinte edições consecutivas em sua época, ao contrário de Miriftci Logarithmorum Canonís Discriptio (Uma Maravilhosa Descrição das Leis da Evolução), obra de arte em que cria os logaritmos e que teve apenas duas edições: 1614 e 1619.
"... ultimamente (1581) tenho dedicado o meu tempo a interpretação de uma outra forma de se fazer Matemática. Estudo também, a pedido do rei, máquinas de guerra..."
Napier ficou conhecido em toda a Escócia, no ano de 1585, quando inventou várias máquinas destinadas à guerra. Seus engenhos militares eram capazes de arremessar bolas de ferro a metros de distância, com uma precisão muito boa para a tecnologia da época. Napier iria arrepender-se por tais estudos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o poder da destruição.
Em 1590 descobriu os logaritmos e tornou-se famoso internacionalmente, passando a ser considerado um grande matemático e, principalmente, eficaz colaborador na resolução dos complicados problemas que apareciam na Astronomia. Esta descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções matemáticas criadas pelo homem, antecipando os computadores na solução de contas indigestas. Os logaritmo eram não só um artifício que simplificava de maneira considerável a computação aritmética, mas também um incremento ao princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles, sentiu-se necessidade de criar nova estrutura filosófica para comportar e interpretar tal instrumento de cálculo.
A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito em latim:
Logarithmorum 2 basis 2 aequales 1.
Logarithmorum 4 basis 2 aequales 2.
Logarithmorum 8 basís 2 aequales 3.
E em português:
A evolução de 2 na base 2 é igual a 1.
A evolução de 4 na base 2 é igual a 2.
A evolução de 8 na base 2 é igual a 3.
A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de 1621, 1622 e 1624, escreveu respectivamente:
Logarithmorum 8basis 2 aequales 3
Logarithm 8 b2 = 3
Log2 8 = 3
Bonaventura Cavalieri, matemático italiano, foi o segundo a utilizar-se dessa notação simplificada no seu Directorium Generalis Uranometricum (Dados Gerais Medidos), escrito em 1632.
A descoberta de Napier seria de extrema importância para o Cálculo Diferencial, que surgiria tempos depois. Após a formalização da técnica, passou a trabalhar na construção de tábuas logarítmicas, que seriam publicadas posteriormente.
Mesmo antes de sua publicação, as tabelas despertariam grande curiosidade, principalmente em astrônomos como Tycho Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito importante, por minimizar o tempo gasto na resolução do cálculos das órbitas dos planetas.
O barão de Merchiston teve uma preocupação grande com o ensino da Aritmética; chegou mesmo a escrever, em 1617 um livro sobre educação matemática - Rabdologia - Nemerationis per Vírgulas Livri Duo (Dois Livros sobre as Operações dos Números com a Ajuda de Vírgulas). Neste introduziu, entre outras coisas, um processo muito criativo de agrupar números
Estrutura - a
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 = 8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888
987654.9 + 2 = 8888888
9876543.9 + 1 = 8888888
98765432.9 + 0 = 888888888
Estrutura b
12345679.09 = 111111111
12345679.18 = 222222222
12345679.27 = 333333333
12345679.36 = 444444444
12345679.45 = 555555555
12345679.54 = 666666666
12345679.63 = 777777777
12345679.72 = 888888888
12345679.81 = 999999999
O ponto máximo do seu Rabdologia, porém, é o processo para multiplicar dois números, mundialmente conhecido como Método das Tiras de Napier.
".... chamo de Tira ao processo que inventei para multiplicar dois números. Esse trabalho resultou da dificuldade que verifico em fazermos contas com os algoritmos modernos (1617). Todos são pobres e nada práticos De certo modo, as escolas e seus professores devém se preocupar em não confundir o pensamento dos seus alunos. Pois bem. se continuarem a ensinar esses processos de multiplicação e não a Tira, sabe-se que..."
".... descobri esse novo método de multiplicar dois números enquanto brincava com seqüências. Escrevia diversos números em fitas de papel e as deslocava para cima e para baixo: procurava uma lógica. Ficava horas e mesmo dias brincando...,'
Napier morreu a 4 de abril de 1617 em seu castelo de Merchiston, aos 67 anos vítima de um ataque cardíaco.
Padre refugia-se na Matemática
Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.
Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.
Em 1817 publicou o livro "Rein Analytisches Beweis (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função.
Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetizaçao", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes.
Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre O e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.
Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente de infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.
Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos. Conhecemos hoje como teorema de Bolzaro-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto limitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação.
O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.
Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".
Cauchy
Engenheiro de Napoleão era monarquista
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris logo após a queda da Bastilha. Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por seu trabalho.
Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuitas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o título de barão como recompensa por sua fidelidade.
Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.
Uma de suas características marcantes era que, obtendo um novo resultado , logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notícias) da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas.
Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchv foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco.
Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler.
Em Teoria dos Números, provou o teorema de Ferrnat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes.
Juntamente com Navier, Cauchv foi fundador da teoria matemática da Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.
Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler.
Descartes
Geometria e Álgebra fazem as pazes
René Descartes nasceu na França, de família nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Fléche, graduando-se em Direito, em Poitier.
Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano l da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da Filosofia Moderna".
Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método" onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de Newton.
Suas idéias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época mas sua matemática guardava características da antigüidade tendo criado a Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado.
Durante o período em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em
1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler:
v + f = a + 2 onde v,f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas
de um poliedro simples.
Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde com a Analítica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas
Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do mesmo princípio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou "A Geometna", que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das ovais de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raízes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas.
Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.
Euclides
2300 anos de vida
Euclides de Alexandria; não se sabe ao certo onde e quando nasceu, mas foi um dos sábios chamados para ensinar na escola criada por Ptolomeu, na Alexandria em 306 A.C., chamada "Museu". Diz-se que Euclides tinha grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas o caracterizam como um bondoso velho.
Seus livros são os mais antigos tratados gregos existentes, embora se tenha
perdido mais da metade deles. Um dos mais lamentáveis desaparecimentos foi o dos
"Porismas de Euclides;' que poderiam conter aproximações da Geometria Analítica
e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em
que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa
é proposta para construir).
Cinco das obras de Euclides sobreviveram. "Óptica" onde, indica seu estudo de perspectiva e desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até o objeto que vemos.
Em "Os Fenômenos" discorre sobre Geometria esférica para utilização dos astrônomos. "A Divisão" contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. "Os Dados" forma um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.
E finalmente, "Os Elementos", obra que superou a de todos seus contemporâneos, contendo treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra. Os seis primeiros capítulos são sobre Geometria plana elementar; Os três seguintes sobre Teoria dos Números; o livro X, sobre incomensuráveis e os três últimos, sobre Geometria no espaço. Entre eles os mais admirados são o quinto e o décimo que tratam da teoria das proporções. O primeiro capítulo inicia com vinte e três definições, entre elas, "um ponto é o que não tem parte", "uma reta é um comprimento sem largura" e "uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura", que foram melhoradas mais tarde por Platão.
Em "Os Elementos" aparece também o célebre postulado das paralelas ("por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela") e em uma das proposições mostra em termos geométricos o que hoje são as identidades (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e a2 - b2 = (a + b) (a - b). No capítulo VII enuncia regras fundamentais para a Teoria dos Números como o conhecido "Algoritmo de Euclides", para achar o máximo divisor comum entre dois números
"Os Elementos" data 300 A.C. e foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de "o elementador".
Euller
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça,onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física.,Línguas orientais e Matemática.
Com o auxílio de Bernouli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção se Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários premios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notaçoes que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra pi para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para raiz de –1. Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou sigma para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a '7ntrodução á Aná~ise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas- inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultad05 que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria. Euler dedicou um Apêndice da "Introduçao" onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
Fourrier
Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigido pelos beneditinos.
Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.
Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.
Tendo acompanhado Napoleào no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.
Voltando a França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.
Em 1830 morreu Fourier, vítima de um aneurisma cerebral.
Hilbert
Os conjuntos invadem a geometria
David Hilbert nasceu em Konigsberg, na Prússia Oriental.
Dinâmico e com idéias notavelmente originais, participou de quase todos os Congressos internacionais de Matemática que, a partir de 1893, eram realizados com freqüência.
Em 1899 publicou os "Fundamentos da Geometria",que exerceu grande influência sobre a Matemática do século XX.
Hilbert percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objetos não definidos-ponto, reta e plano- e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados conhecidos como Axiomas de Hilbert. A Teoria dos Conjuntos passa a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstração.
Em 1900, Hilbert já era afamado professor em Gottingem, Alemanha, e depois de muito analisar as pesquisas dos fins do século XIX, durante sua participação no Congresso de Paris, apresentou e propôs vinte e três problemas os quais, segundo acreditava, ocupariam a atenção dos matemáticos do século XX, numa tentativa de prenunciar os rumos que tomaria o progresso neste século. Dizia ele: "se quisermos ter uma idéia do desenvolvimento provável do conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro. Destes problemas, o primeiro trata de Teoria dos conjuntos o segundo é sobre os axiomas da Matemática, e os outros são sobre Topologia, Equações Diferenciais, Cálculo das Variações e demais campos. Pode-se afirmar que muitos deles ainda não estão resolvidos e que a Matemática neste século se desenvolveu em muitas direções não previstas como disse o próprio Hilbert: "enquanto um ramo da Ciência oferece uma abundância de problemas, ele está vivo".
Depois do Congresso de 1900, os matemáticos se agruparam em duas escolas, dependendo da sua linha de pensamento: os "formalistas" liderados por Hilbert, e os "logicistas" tendo à frente Russel.
Hilbert interessou-se por todos os aspectos da Matemática Pura, contribuindo para a Teoria dos Números, Lógica Matemática, Equações Diferenciais e também para a Física Matemática, sendo considerado uma figura importante de transição entre os séculos XIX e XX.
Lobachevski
Nicolai Lobachevsky nasceu na Rússia. Aos sete anos perdeu o pai. Apesar das dificuldades financeiras freqüentou a Universidade de Kazan, onde entrou em contato com professores vindos da Alemanha, entre eles Bartels, que havia ensinado Gauss. Deve-se a isto sua preferencia pela corrente alemã e geométrica, ao contrário de seu rival contemporâneo e também russo Ostrogradsky, que seguia as idéias francesas e a Análise de Cauchy.
Aos 21 anos Lobachevskv tornou-se professor na Universidade de Kazan onde mais tarde foi nomeado reitor, cargo que ocupou até o fim da vida.
Em 1823, em uma exposição, disse do postulado das paralelas de Euclides simplesmente que nunca foi descoberta uma prova rigorosa de sua validade" e em 1826 apresentou alguns teoremas sobre a nova teoria que defendia.
Em 1829 publicou um artigo "Sobre os Princípios da Geometria" que marca o nascimento da Geometria não euclidiana, ficando completamente convencido de que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos outros quatro. Construiu esta nova geometria totalmente fundamentada na hipótese, contrária à de Euclides, de que "Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta no plano que não encontra AB", parecia ela tão contraditória ao senso comum que o próprio Lobachevsky a chamou "Geometria imaginária". Por este resultado chamaram-no "Copérnico da Geometria", revolucionando o assunto e mostrando que a Geometria euclidiana não era a verdade absoluta suposta até então, e tornando necessário fazer-se uma revisão completa nos conceitos fundamentais da Matemática.
Em 1838 publicou "Novos Fundamentos da Geometria", em russo; em 1840 publicou "Invertigações geométricas sobre a teoria das para/elas", em alemão i finalmente em 1855 lançou seu livro "Pangeometria", em francês e russo. Lobachevsky nunca gozou de posição destacada na sociedade e era defensor entusiasta das causas liberais populares. Em 1842 foi eleito para a Sociedade Cientifica de Gottingen, porém suas descobertas só foram reconhecidas muito lentamente e este era seu maior desgosto. Os grandes matemáticos da época, como Gauss, tomando conhecimento de sua nova teoria elogiavam mas não tinham coragem de publicar comentários a respeito, com medo de serem ridicularizados.
Pascal
Blaise Pascal, francês, tinha como o pai, Etienne Pascal, inclinação para Matemática.
Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela.
Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinqüenta delas.
Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos.
Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo.
Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades.
· Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, torna-se responsável, com Ferrnat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática".
A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciencia, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais" e "Pensamentos".
Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso como sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última notícia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.
Poncelet
Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788.
Tendo se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.
Em 18l2, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante Os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dados os primeiros passos no século XVII.
Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática", Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.
O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois como "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.
Poncelet foi ainda o criador da teoria polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.
Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.
Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera
Rieman
G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil.
Teve boa instrução em Berlim e depois em Gottingen onde obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria das funções de variáveis complexas, onde aparecem as equações denominadas de Cauchy-Riemann, embora lá fossem conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel fundamental em Análise.
Nomeado professor na Universidade de Gottingen em 1B54, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido comum mas como uma coleção de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais a de achar distancia entre dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano é uma superfície de uma esfera e reta é o círculo máximo sobre a esfera. De sua sugestão de estudar espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim para o desenvolvimento da Física.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass.
Um de seus brilhantes resul;tados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em conseqüência de uma tuberculose.
Talles
Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista de visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida.
As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C. conseguiu predizer o elipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.
Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um angulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um círculo é bissectado por um diâmetro", "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro. então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola de Jônia" e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descoberta matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos".
Poincaré
* Trechos da nota introdutória do livro "Deus Joga Dados ? - a Matemática do Caos" de Ian StewartHoje em dia, no final do século XX, seria quase um insulto perguntar a alguém se sabe quem foi Albert Einstein. Na verdade, a importância do seu trabalho não é ignorada por ninguém, embora, compreensivelmente, a natureza e os pormenores deste o sejam por muitos. A sua imagem, que se tornou emblemática na sociedade moderna, é reconhecida por todos, tendo-se tornado (ao contrário, estou convencido, do que o próprio Einstein teria gostado) símbolo de valores como pensamento, profundidade, transformação do mundo pela reflexão e outros proventura menos nobres mas bem explorados pela indústria do marketing. Einstein é o paradigma da genialidade: o homem é a imagem do gênio.
Devo dizer que concordo sem restrições, por razões que não vêm aqui a propósito, com a genialidade ímpar de Einstein. A questão é que, tal como a física, também a matemática teve o seu gênio ímpar, o seu Einstein. E no entanto, alguém se sentiria insultado ao ser-lhe perguntado se conhecia Henri Poicaré?
Dificilmente se encontrará, na história da ciência dos últimos dois séculos, figura mais capaz de ombrear com Einstein do que Henri Poincaré, o último universalista. Poincaré não só deixou uma vastíssima e importantíssima obra em todos os campos da matemática, e mesmo da física, do seu tempo, como a mecânica clássica, mecânica celeste, física matemática, teoria dos números, teoria das funções, equações diferenciais ou análise real e complexa ( a propósito deste paralelo, é curioso referir que Poincaré atingiu, independentemente de Einstein e ao mesmo tempo que este, em 1905, uma formulação da teoria da relatividade restrita), como também fundou mesmo, com seus trabalhos, um conjunto de novos ramos da matemática, como a topologia ou a teoria qualitativa das equações diferenciais,e as suas idéias seminais continuaram a influenciar decisivamente toda a investigação matemática do século XX, estando presente, como um espírito que assombra uma casa, em ramos da matemática cuja fundação é posterior à sua morte, como a topologia algébrica ou a geometria diferencial. O seu papel na história, como sendo o primeiro,e durante muito tempo o único, a dar-se conta da catástrofe conceitual que representava para os dogmas e convicções da física-matemática do seu tempo o fenômeno da Bifurcação Homoclínica, que só veio a ser redescoberto e valorizado oitenta anos depois, é paradigmático: o seu espírito profundo e penetrante continua a assombrar a grande casa da ciência.
Honra lhe seja feita: Poincaré merece, de fato, um lugar no pedestal dos grandes da ciência, ao lado de um Galileu, de um Newton, de um Darwin ou de um Einstein.
Qual a razão profunda do desconhecimento, por parte do grande público, da importância de Poincaré? O problema é complicado. Creio que não reside em Poincaré, mas sim na natureza da ciência que o apaixonou e a que se dedicou, radicalmente diferente da das ciências naturais. Cito, de memória, Leopold Kronecker: "A essência da matemática é a liberdade". A meu ver, esta frase resume uma característica fundamental da matemática, em contraposição às ciências naturais: estas, por mais abstratas e elaboradas que se sejam as teorias, estão confinadas a debater problemas relativos ao mundo natural, físico, químico ou biológico, e estão portanto sempre sujeitas ao veredicto final que a Natureza, através da experiência, decida conferir-lhes sobre a sua validade, enquanto que a matemática lida com um mundo puro de idéias. O próprio objeto da matemática são as idéias e não o mundo real. Enquanto se pode determinar se, por exemplo, uma teoria física está errada extraindo-lhe previsões concretas sobre o mundo real, que depois se verifica não estarem corretas, em matemática não existe tal critério de verdade. O único critério de verdade matemático é o da correção lógica dos resultados. Deste ponto de vista, a liberdade do matemático é muito maior do que a do cientista natural: um conjunto de idéias muito belas só pode ser refutado se estiver logicamente incorreto, e nunca por confronto com a Natureza. Se não estiver incorreto, ganhou direitos de cidadania na sua ciência. Por exemplo, o estatuto matemático das geometria euclidianas e não euclidianas é idêntico, independentemente de qual seja a geometria real do nosso universo; nenhuma é matematicamente "mais verdadeira" do que as outras. Já do ponto de vista físico isto não se passa...
Nesta perpectiva, a atividade matemática está muito mais próxima da artística do que da propriamente científica: a liberdade do matemático está mais próxima da do artista do que da do cientista natural.
Será esta a razão pela qual é mais difícil o grande público valorizar a atividade de uma matemático como Poincaré do que a de um físico como Einstein? O fato de, uma vez que a matemática lida com um mundo de idéias, e não com o mundo real, não existirem fatos concretos e palpáveis - desvios gravitacionais, ou sínteses de Miller-Urey, ou fósseis, ou bombas nucleares - para apresentar às pessoas, mas apenas idéias - distribuição de primos, ou teorema de Cauchy, ou conjectura de Poincaré, ou teorema de Atiyah-Singer-, poderá fazer com que o público tenha dificuldade em aperceber-se da real importância da matemática no conjunto das ciências? É possivel, embora tal seja demasiado complexo para poder ser aqui tratado.
Bhaskara
A Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do mundo, Bhaskara. ... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:
"...foi então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os quais se relacionavam às partilhas dos inventários. Divertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos eram complicados, mas com minha técnica de solução...
O que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.
... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores
do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha para o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas partes...
.... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.
John Napier
Napier viveu 67 anos, entre 1550 a 1617, na época do Renascimento. Shakespeare, na Inglaterra, com a fama de maior dramaturgo de todos os tempos, publicava Sonhos de uma Noite de Verão, Hamlet, O Mercador de Veneza, Otelo e Romeu e Julieta.
Miguel de Cervantes, na Espanha, escrevia um dos livros mais famosos da literatura mundial: Dom Quixote, no qual criticava a cultura medieval, na figura grotesca de seu personagem que investe contra moinhos de vento por imaginar estar lutando com gigantes.
Luis de Camões, em Portugal, lança seu Lusíadas, que traduz a epopéia do povo português conquistador dos mares. O livro, com seus poemas épicos, narra as inúmeras viagens do navegante e descobridor Vasco da Gama.
Martinho Lutero, fanático religioso alemão, defende suas idéias sobre a tendência dos católicos: serem donos do mundo material e espiritual. Seus pensamentos produzirão uma crise religiosa de proporções comprometedoras para o futuro da Igreja.
No século XVI acontecem profundas modificações políticas e econômicas na Europa, que, impulsionada pelo capitalismo e futuramente pela Revolução Industrial, induzira o nascimento de uma burguesia poderosa. Surgem então condições financeiras para o desenvolvimento da cultura européia.
Matemático escocês, John Napier, barão de Merchiston, nasceu no castelo de Merchiston, nas proximidades. de Edimburgo, no ano de 1550. Ao contrário de muitos homens importantes para a ciência, Napier viveu cercado de luxo: farta comida, boas roupas, excelentes professores, carruagens, enfim, tudo o que o dinheiro pode comprar. Seu tio materno, Adam Bothwere - primeiro bispo de Orkney, amigo do rei Jaime VI-, e seu pai possuíam grande influência política e financeira na Escócia daqueles dias. A família Napier detinha a cobiçada posição de estar entre as vinte maiores fortunas da Europa.
Desde pequeno, Napier mostrou-se diferente dos demais jovens da sua classe social. Em vez de dedicar-se à caça e à guerra, preferia as atividades intelectuais. Revelou-se brilhante estudioso, péssimo caçador e desajeitado guerreiro. Dotado de temperamento irascível, em uma tarde de 1569 procurou o seu vizinho, lorde Kalliran, para reclamar que seus pombos estavam invadindo o castelo de Merchiston e quebrando o silencio sepulcral de que precisava para estudar. Como Kalliran não tomasse nenhuma providência, não teve dúvidas: envenenou todos os pombos espalhando pelo castelo grãos de milho recheados com cianureto.
"...todos que me conhecem sabem
que detesto barulho. O silêncio é
o melhor aliado que um homem
pode ter para conhecer a natureza e
a si próprio. Detesto pombos..."
Ate os doze anos Napier teve aulas particulares em seu castelo, com importante professores escoceses, especialmente contratados por seu pai. Aos treze anos, ingressou na Universidade de St. Andrews, destacando-se como um dos melhores alunos. Por sua grande capacidade intelectual, o bispo de Orkney sugeriu à família de Napier que o mandasse à França, onde poderia ter acesso a mestres que então revolucionavam a Matemática e a Filosofia. Assim Napier foi para a França, onde só ficaria durante um ano, pois sentia falta da família e de Merchiston.
Ao regressar ao seu castelo, Napier trouxe consigo cinco professores de Matemática para ensiná-lo. Além da Matemática, passou a interessar-se por Teologia; prova disto é o livro que publicou em 1593 Descoberta evidente de toda Revelaçã0 de São João, onde critica radicalmente a Igreja, fazendo suas próprias interpretações das escrituras bíblicas:
"Deve-se interpretar a Bíblia de
um modo mais cientifico e menos
fanático".
Os assuntos tratados no livro são fúteis, sem nenhum conteúdo filosófico, mas nota-se que Napier assimilara a maneira grega de raciocinar. É interessante verificar que este seu livro, no qual afirma ser o papa o anticristo, teve vinte edições consecutivas em sua época, ao contrário de Miriftci Logarithmorum Canonís Discriptio (Uma Maravilhosa Descrição das Leis da Evolução), obra de arte em que cria os logaritmos e que teve apenas duas edições: 1614 e 1619.
"... ultimamente (1581) tenho dedicado o meu tempo a interpretação de uma outra forma de se fazer Matemática. Estudo também, a pedido do rei, máquinas de guerra..."
Napier ficou conhecido em toda a Escócia, no ano de 1585, quando inventou várias máquinas destinadas à guerra. Seus engenhos militares eram capazes de arremessar bolas de ferro a metros de distância, com uma precisão muito boa para a tecnologia da época. Napier iria arrepender-se por tais estudos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o poder da destruição.
Em 1590 descobriu os logaritmos e tornou-se famoso internacionalmente, passando a ser considerado um grande matemático e, principalmente, eficaz colaborador na resolução dos complicados problemas que apareciam na Astronomia. Esta descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções matemáticas criadas pelo homem, antecipando os computadores na solução de contas indigestas. Os logaritmo eram não só um artifício que simplificava de maneira considerável a computação aritmética, mas também um incremento ao princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles, sentiu-se necessidade de criar nova estrutura filosófica para comportar e interpretar tal instrumento de cálculo.
A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito em latim:
Logarithmorum 2 basis 2 aequales 1.
Logarithmorum 4 basis 2 aequales 2.
Logarithmorum 8 basís 2 aequales 3.
E em português:
A evolução de 2 na base 2 é igual a 1.
A evolução de 4 na base 2 é igual a 2.
A evolução de 8 na base 2 é igual a 3.
A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de 1621, 1622 e 1624, escreveu respectivamente:
Logarithmorum 8basis 2 aequales 3
Logarithm 8 b2 = 3
Log2 8 = 3
Bonaventura Cavalieri, matemático italiano, foi o segundo a utilizar-se dessa notação simplificada no seu Directorium Generalis Uranometricum (Dados Gerais Medidos), escrito em 1632.
A descoberta de Napier seria de extrema importância para o Cálculo Diferencial, que surgiria tempos depois. Após a formalização da técnica, passou a trabalhar na construção de tábuas logarítmicas, que seriam publicadas posteriormente.
Mesmo antes de sua publicação, as tabelas despertariam grande curiosidade, principalmente em astrônomos como Tycho Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito importante, por minimizar o tempo gasto na resolução do cálculos das órbitas dos planetas.
O barão de Merchiston teve uma preocupação grande com o ensino da Aritmética; chegou mesmo a escrever, em 1617 um livro sobre educação matemática - Rabdologia - Nemerationis per Vírgulas Livri Duo (Dois Livros sobre as Operações dos Números com a Ajuda de Vírgulas). Neste introduziu, entre outras coisas, um processo muito criativo de agrupar números
Estrutura - a
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 = 8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888
987654.9 + 2 = 8888888
9876543.9 + 1 = 8888888
98765432.9 + 0 = 888888888
Estrutura b
12345679.09 = 111111111
12345679.18 = 222222222
12345679.27 = 333333333
12345679.36 = 444444444
12345679.45 = 555555555
12345679.54 = 666666666
12345679.63 = 777777777
12345679.72 = 888888888
12345679.81 = 999999999
O ponto máximo do seu Rabdologia, porém, é o processo para multiplicar dois números, mundialmente conhecido como Método das Tiras de Napier.
".... chamo de Tira ao processo que inventei para multiplicar dois números. Esse trabalho resultou da dificuldade que verifico em fazermos contas com os algoritmos modernos (1617). Todos são pobres e nada práticos De certo modo, as escolas e seus professores devém se preocupar em não confundir o pensamento dos seus alunos. Pois bem. se continuarem a ensinar esses processos de multiplicação e não a Tira, sabe-se que..."
".... descobri esse novo método de multiplicar dois números enquanto brincava com seqüências. Escrevia diversos números em fitas de papel e as deslocava para cima e para baixo: procurava uma lógica. Ficava horas e mesmo dias brincando...,'
Napier morreu a 4 de abril de 1617 em seu castelo de Merchiston, aos 67 anos vítima de um ataque cardíaco.
3 comentários:
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